Julia 复数和有理数

本章节我们主要要来学习 Julia 的复数和有理数。

Julia 语言包含了预定义的复数和有理数类型，并且支持它们的各种标准数学运算和初等函数。

复数

复数，为实数的延伸，它使任一多项式方程都有根。

我们把形如 z=a+bi（a、b均为实数）的数称为复数。其中，a 称为实部，b 称为虚部，i 称为虚数单位，它有着性质。当 z 的虚部 b＝0 时，则 z 为实数；当 z 的虚部 b≠0 时，实部 a＝0 时，常称 z 为纯虚数。

全局常量 im 被绑定到复数 i，表示 -1 的主平方根。

由于 Julia 允许数值字面量作为数值字面量系数，这种绑定就足以为复数提供很方便的语法，类似于传统的数学记法：

我们也可以对复数进行各种算术操作：

类型提升机制也确保你可以使用不同类型的操作数的组合：

注意 3/4im == 3/(4*im) == -(3/4*im)，因为系数比除法的优先级更高。

Julia 提供了一些操作复数的标准函数：

按照惯例，复数的绝对值（abs）是从零点到它的距离。abs2 给出绝对值的平方，作用于复数上时非常有用，因为它避免了取平方根。angle 返回以弧度为单位的相位角（也被称为辐角函数）。所有其它的初等函数在复数上也都有完整的定义：

注意数学函数通常应用于实数就返回实数值，应用于复数就返回复数值。例如，当 sqrt 应用于 -1 与 -1 + 0im 会有不同的表现，虽然 -1 == -1 + 0im：

从变量构建复数时，文本型数值系数记法不再适用。相反地，乘法必须显式地写出：

然而，我们并不推荐这样做，而应改为使用更高效的 complex 函数直接通过实部与虚部构建一个复数值：

这种构建避免了乘法和加法操作。

Inf 和 NaN 可能出现在复数的实部和虚部，正如特殊的浮点值章节所描述的：

有理数

有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。

Julia 有一个用于表示整数精确比值的分数类型。分数通过 // 运算符构建：

如果一个分数的分子和分母含有公因子，它们会被约分到最简形式且分母非负：

整数比值的这种标准化形式是唯一的，所以分数值的相等性可由校验分子与分母都相等来测试。分数值的标准化分子和分母可以使用 numerator 和 denominator 函数得到：

分子和分母的直接比较通常是不必要的，因为标准算术和比较操作对分数值也有定义：

分数可以很容易地转换成浮点数：

对任意整数值 a 和 b（除了 a == 0 且 b == 0 时），从分数到浮点数的转换遵从以下的一致性：

Julia接受构建无穷分数值：

但不接受试图构建一个 NaN 分数值：

像往常一样，类型提升系统使得分数可以轻松地同其它数值类型进行交互：